签订劳动合同后是可以辞职的。劳动法第三十六条：用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。第三十七条：劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。第四十条：有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同： （一）劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的； （二）劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的； （三）劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
法律知识延伸阅读
你这种情况按照法律规定应该给半个月的补偿金。单位给了一个月的确实多了。可以先不着急还她。不过你这种情况属于单位方无故解除劳动合同属于非法解除，应该是2倍的经济补偿
员工与公司签订劳动合同后，双方分别保留一份。若据你的情况劳动合同不返还劳动者，可向当地劳动监察部门投诉解决。
可以直接签劳动合同。而且如果你签了合同再去别的公司应聘，也不是一定不可以，这就要看合同的内容，如果合同规定了最低的服务年限，以及违约金，那么你如果跳槽，肯定就要支付违约金