首先，公交车急刹车免费搭乘的大爷摔伤医药费,应该由公交公司来赔偿。根据《民法典》的规定，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任。不论是买票乘客还是免票、持优待票或者经承运人许可达成的无票旅客。
法律依据：《民法典》第八百二十三条，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任;但是，伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。 前款规定适翻于按照规定免票、持优待票或者经承运人许可搭乘的无票旅客。
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